1736年1月25日，意大利都灵一户法国裔军官家庭里，约瑟夫·路易斯·拉格朗日降生。谁也不曾料到，这个因父亲经商破产、家道中落而发愤向学的少年，日后会成为仅次于欧拉的数学巨匠，在分析力学、变分法、数论等领域留下以他命名的定理，名字被刻上埃菲尔铁塔。
拉格朗日的童年并不顺遂。父亲一心想把他培养成律师，他却对法律毫无兴趣。十七岁时，他读到一篇介绍牛顿微积分成就的文章，顿时迷上数学分析，从此专攻当时迅速发展的分析学。十八岁，他用意大利语写出第一篇论文，以牛顿二项式定理处理两函数乘积的高阶微商；寄给柏林的欧拉后，才得知这一成果半个世纪前已被莱布尼茨取得。这并不幸运的开端没有让他气馁，反而更坚定了投身数学分析领域的决心。
十九岁那年，拉格朗日迎来转折。在探讨”等周问题”时，他以欧拉的思路为基础，用纯分析方法求变分极值，写成论文《极大和极小的方法研究》，发展了欧拉开创的变分法，为这一分支奠定理论基础。都灵因此声名大震，他十九岁便出任皇家炮兵学校教授，成为欧洲公认的一流数学家。1756年，经欧拉举荐，他获任普鲁士科学院通讯院士。
1764年、1766年，拉格朗日两度获得法国科学院征文奖，解决了月球天平动与木星卫星运动难题。1766年，腓特烈大帝邀他前往柏林，说”欧洲最大的王”的宫廷应有”欧洲最大的数学家”，他遂任普鲁士科学院数学部主任，一住二十年，迎来科学生涯的鼎盛。在此期间，他完成《分析力学》——牛顿之后又一部经典力学巨著，把力学从以力为基础的几何推理，改写为以能量、广义坐标为核心的分析形式，使力学真正成为数学分析的一个分支。
1787年，拉格朗日应路易十六之邀定居巴黎，先后任巴黎高等师范学校、综合工科学校数学教授，并主持法国度量衡统一委员会，为米制确立立下大功。1795年法兰西研究院成立，他当选数理委员会主席。1813年4月11日，拿破仑授予他帝国大十字勋章的次日，拉格朗日病逝于巴黎，享年七十七岁。他一生论文、著作、书信逾五百篇，近世数学许多新成就都可溯源于他的工作。
拉格朗日在数学上的广度令人惊叹。变分法之外，他在方程论上埋下了群论的种子：他分析三、四次代数方程何以能用代数方法求解，并试图为五次方程寻找”预解函数”，虽未成功，却已然触及置换群的概念——这一思想被后来的阿贝尔与伽罗瓦继承发展，最终解答了高次方程无解之谜。1773年，他发表关于行列式的论文，得到三阶行列式乘法原理，为高斯等人铺路。微分中值定理、泰勒级数的拉格朗日余项、拉格朗日内插公式，也都以他命名。
在天文学与力学交叉处，他的贡献同样奠基性。他研究月球运动、行星轨道、彗星摄动，提出”拉格朗日点”——三体问题中五个特殊的平动位置，至今仍是航天器轨道设计的支点。流体力学里，描述物质随流体运动的”拉格朗日方法”，与欧拉的”欧拉方法”并列两大基本描述框架。
拉格朗日性情温和，潜心科学，几乎不卷入宫廷的派系倾轧。法国大革命爆发后，他一度旁观，却被委派改革度量衡；当化学家拉瓦锡被送上断头台，他叹息：”只一瞬间便砍下那颗头，而一百年也长不出另一颗这样的头。”这句感慨，至今被人引用，用以说明一个时代对天才的挥霍。
1794年巴黎综合工科学校成立，他与蒙日同任首席数学教授，讲义后来整理为《解析函数论》《函数计算讲义》，是实分析函数论最早的一批教科书。他晚年试图用代数取代当时含混的微积分基础，虽未竟全功，却促使后人建立起现代分析的严格奠基。
巴黎先贤祠里安息着他的遗骸，埃菲尔铁塔上镌刻着他的姓名。从都灵的少年到柏林的鼎盛，再到巴黎的暮年，拉格朗日用一支笔，把力学的天下改写为分析的语言——而后世的每一个物理系学生，都仍在他写下的方程里求解世界。
拉格朗日最被人熟知的，或许是”拉格朗日中值定理”与”拉格朗日方程”。前者是微积分的基石，前者说明连续可导函数两端间必有一点，其切线斜率等于弦的斜率；后者则从能量出发，以广义坐标描述力学系统，把牛顿第二定律改写为对称、优雅的分析形式。今天的机器人学、航天轨道设计、流体模拟，底层仍跑着他的方程。
他还是群论与代数方程理论的先驱。在《关于方程的代数解法的思考》中，他系统剖析了三、四次方程可解的根由，并尝试为五次方程寻找”预解函数”——虽未成功，却第一次清晰呈现出置换与根式解之间的关系。半个世纪后，伽罗瓦正是在此基础上，用群的概念彻底解答了”为何五次以上方程无根式解”这一千古难题。可以说，群论的种子，早在拉格朗日的书斋里就已发芽。
在天文学领域，他对”三体问题”的求解留下五个特殊的平动解，即”拉格朗日点”。这些点在今天有了最浪漫的用处：航天工程师把通信卫星、空间望远镜布置在日地系统的拉格朗日点，让它们与地球同步绕日，几乎不耗燃料地驻留太空。你手机导航里的卫星、仰望星空时的韦伯望远镜，背后都有十八世纪这位数学家的影子。
拉格朗日一生淡泊。他拒绝过皇家学会会长之位，对法国大革命的腥风血雨保持距离，只埋头于度量衡与教学。拿破仑敬重他，封他为伯爵、授大十字勋章，而他病榻上的最后光阴，想的仍是未竟的著作。1813年4月11日清晨，他安静离世。法国议长拉普拉斯与研究院院长亲自致悼词，意大利各大学亦降半旗——一个用公式理解宇宙的人，最终被整个时代以最隆重的礼节送别。